Kurt Gödel

Teoremlerinde tam sayı aritmetiğini içerecek kadar karmaşık herhangi
bir sistemin içinde, sistemin aksiyomlarından yola çıkarak doğruluğu
veya yanlışlığı kanıtlanamayacak önermeler bulunacağını ispatlamıştır.
Bunun için ise Gödel numaralandırılması ismi verilen bir metod
geliştirmiştir. Meşhur teoremini Viyana Üniversitesindeki doktora
çalışması sırasında 1931 yılında ispatlamış, bununla 20. yüzyıl
matematiğinin yönünü değiştirmiştir.

1940’larda Princeton Üniversitesi İleri Araştırmalar Enstitüsünde Kurt
Gödel, Einstein’ın kütle çekimi alanı denklemlerine, ekseni etrafında
dönen bir evreni tanımlayan bir çözüm getirdi. Evrenin dönüşü ışığı (ve
dolayısıyla cisimler arsındaki nedensellik bağlarını da) birlikte
sürükleyecekti. Dolayısıyla maddi cisimde, ışık hızını aşmaya gerek
kalmaksızın uzayda ve zamanda kapalı bir halka çizecekti. Gödel’in
modeli, zamanda geriye gitmenin görelilik kuramınca yasaklanmadığını
ortaya koydu. Kurt Gödel, Einstein’ın alan denklemlerini kullanarak,
bir evren modeli tasarladı. Tasarım Einstein’ınkine benziyordu ama
Gödel’in yaklaşımında kozmolojik sabitlere negatif bir değer
veriliyordu. Einstein da kuramının bazı durumlarda geçmişe yolculuğa
izin verdiği düşüncesinden rahatsızlık duyduğunu ifade etmiştir. Yalnız
Gödel’in bu modeli gökbilimcilerin gözlemlediği kütleçekimsel kızıla
kayma tarafından yanlışlanmaktadır.

İçine kapanık bir kişiliği olan Gödel, son yıllarında zehirleneceği
paranoyasına kapılarak hiç bir şey yememeye başlamış, bunun sonucunda
beslenme eksikliğinden 14 Ocak 1978’de Princeton’da ölmüştür.

Burada eksiklik teoremine de değinelim,

Gödel’in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm
ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem
vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda
çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları,
aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu
aksiyomlardan elde edebilecekti.

Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu
önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti.
Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de
formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu
hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun
hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz (complete) değildir.
2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını
sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini
kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak
yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne
kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da
yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacak.

Eksiklik teoremini şöyle açalım,

Kurt Gödel’in 1931 yılında doktorasında verdiği "Principia Mathematica
Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine"
başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak
matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması
dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir. Gödel’in ifadesiyle:

"Her ω-tutarlı yinelgen tamdeyimler sınıfı K’ya öyle yinelgen r
sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr),
Flg(K)’ya ait olur (Burada v, r’nin bağsız değişken idir)."

Daha Türkçe bir anlatımla:

"Sayı Kuramı nın bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir."

Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem)
kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar
verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler
içerecektir. Gödel’in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar
kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle,
Sayı Kuramı nın her formülasyonunun eksik olması gerektiği
kanıtlanmıştır.

Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler; (sayılar
kuramında) Seçim Beliti, (geometride) Pararlellik Beliti, (mantıkta)
Eubulides Paradoksu, vs…

En çarpıcı ve yalın olanı Eublides paradoksudur. "Bu önerme yanlıştır"
önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu
varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış
olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere
"kendine-göndergeli önerme" terimi ilk Douglas R. Hofstadter 1989’da
Türkiye’de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında
kullanmıştır.

Pek açık olmayan bir örnek ise Paralellik Belitidir. Euclides (Öklit)
M.Ö. 300’de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı
Elementler de tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5
belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve
matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama
kimse başaramamıştır. Daha sonra Lobachevsky, Bolyai ve gizlice Gauss
birbirlerinden habersiz bu 5. belitin tersinin alınarak da başka bir
geometriye ulaşılabileceğini gösterdirler. Belit Playfair’in
versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya
paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu
önermenin tersi olan "… en az iki doğru bulunur" önermesi Hiperbolik
Geometri (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir
geometriye kapı açmıştır.

Bu örnekle Gödel’in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri
(sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir.