Hidrojen Atomu ve Bohr Modeli

İngiliz fizikçisi J.J. Thomson elektronları, üzümlü
kekteki üzüm taneleri gibi, sürekli artı yük dağılımı içine gömülmüş eksi yüklü
tanecikler olarak ele alarak bir atom modeli geliştirmişti. E. Rutherford’un
yaptığı, α parçacıklarının metal plakalardan saçılma deneylerinin sonucu bu
model yardımıyla açıklanamadı. Kendi kuramsal açıklamalarına dayanarak 1911’de
Rutherford’un geliştirdiği başka bir atom modeli ön plana çıktı. Rutherford atom
modelinde, atomun tüm artı yükü ve hemen hemen tüm kütlesi atomun çekirdeği
denilen, atomun boyutuna göre çok küçük bir bölgede yoğunlaşmıştır. Çekirdek
tarafından 1/r² ile orantılı bir kuvvet ile çekilen elektronlar ise,
çekirdek tarafında tıpkı gezegenler gibi kendi yörüngelerinde
dolanırlar.

α parçacıklarının atomlardan saçılmalarını nicel olarak iyi
açıklamasına karşın Rutherford atom modelinin klasik fizik açısından
giderilemeyen iki önemli güçlüğü vardı. Bunlar; (i) atomların kararlılığı ve
(ii) atom spektrumlarının kesikliğinin açıklanamamasıydı. Rutherford modelinde
elektronlar eğrisel yörüngelerinde ivmeli hareket yapan her yüklü parçacık gibi
ışık yayarak enerji kaybetmelidirler. Enerjileri azalan elektronların yörünge
yarıçapları giderek küçüleceği için bunlar sonunda çekirdeğin üstüne
çökmelidirler. Klasik fizik yasalarına göre bu çöküş 10^-10 saniye
gibi kısa bir sürede olur. Bu modele göre bütün atomlar kararsızdır. Bu ise
açıkça bir çelişkidir, çünkü çevremizde atomlardan yapılmış herşey kararlı bir
yapıdadır

Yukarıda değinilen ikinci güçlük ise şu idi:
ivmeli hareket eden elektronların yayacağı ışınım frekansı dolanım frekansıdır.
Elektronun çöküşü esnasında yarıçaplı bir spiral üzerinde sürekli azaldığından
dolanım frekansı, dolayısı ile yapacağı ışınımın frekansı da sürekli şekilde
değişmeli idi. Halbuki akkor haldeki gazların (gazı oluşturan atomun yapısına
bağlı olarak) belirli renklerde kesikli spektruma sahip ışıma yaptıkları 18.
Yüzyıldan beri bilinmekte idi. Örneğin hidrojen atomunun görünür bölgede ışıdığı
renklerin dalgaboylarının ampirik olarak,

şeklinde bir bağıntı ile ifade
edilebileceği 1885’te J.J. Balmer tarafından bulunmuştu. Burada
n₂>n₁ olmak üzere ve birer tamsayı ve R deneysel olarak
1,096810⁵ cm^-1 şeklinde bulunmuş bir sabittir. R’ye
Rydberg sabiti, n₁=2 ve n₂=3,4,5….  için bulunan
diziye de Balmer serisi denir. Daha sonraları yukarıdaki bağıntının hidrojenin
tüm spektrumunu da açıkladığı anlaşıldı. n₂>n₁ olmak
üzere n₁=1,2,3,4,5…. serileri sırası ile Lyman, Paschen, Brackett
ve Pfund serileri olarak adlandırıldı.

Rutherford atom modelinin ortaya
atılışından iki yıl sonra Niels Bohr 1913’te atomların ışıma
spektrumlarının kesikliliğini ve kısmen de kararlılığını açıklayan iki varsayım
ileri sürdü. Bohr varsayımları olarak bilinen bu varsayımlar
şunlardır:

• 
  

  Bir atomdaki elektronun açısal
  momentumu  L=n.h.n/2π şeklinde kuantumludur. Böyle bir elektron bulunduğu
  yörüngede ışıma yapmadan dolanır. Bu bağıntıya Bohr kuantumlama koşulu
  denir.

  
  
• 
  

  Bir elektron izinli yörüngeler arasında
  ani geçişler yapabilir ve bu yörüngelerin enerji farkı ΔE, v=ΔE/h frekanslı bir
  ışıma olarak ortaya çıkar. Atomlar, elektronlarını daha yüksek enerjili
  yörüngelere çıkaracak şekilde enerji soğururken de yine bu bağıntıya
  uyarlar.

            Bohr
varsayımlarının sonuçlarını görmek için bunları hidrojene benzeyen tek
elektronlu bir atoma uygulayalım ve basit olması için elektronun r
yarıçaplı çembersel bir yörüngede bulunduğunu varsayalım. Kütlesi çok büyük
olduğundan çemberin merkezinde durgun kabul edilen çekirdeğin Ze yükü ile
elektronun -e yükü arasındaki Coulomb kuvveti, elektrona v²/r
merkezcil ivmeli düzgün çembersel hareket yaptırır. Burada Newton’un ikinci
hareket yasasından yararlanarak (Gauss birim sisteminde)

yazılabilir. Çembersel yörünge için
açısal momentum L=m.v.r şeklindedir. Bohr kuantumlama koşulunu kullanarak ve buradan bulunan
ifadesini yukarıdaki ifadede yerine koyarsak r yörünge yarıçaplarının

uzunluğuna hidrojenin bohr yarıçapı denir. Yukarıdaki ifadeyi
bağıntısında kullandığımızda, υ’nin de

toplam enerjisinin

           Yukarıdaki
bağıntı ile ifade edilen enerjilere hidrojenin enerji düzeyleri denir. En düşük
enerji düzeyi, n=1 için bulunan E₁=-13,6 ev enerjili düzey olup buna
hidrojenin taban durumu enerjisi denir. Taban durumunda yörünge yarıçapı en
küçük ve a₀=0,53 Å değerine eşittir. Taban durumundaki dolanım sürati
c ışık hızının α=1/137 katıdır. En yüksek
düzeyde E=0 olup bu n→∞ limitine karşı gelmektedir. Bu durumda yörünge yarıçapı
da r→∞’e gideceğinden artık elektron ile çekirdek birbirinden tamamen
ayrılmışlardır. Elektronu taban durumundan E=0 durumuna geçirmek için gerekli
minimum enerji 13,6 ev olup buna hidrojenin iyonlaşma enerjisi denir. E=0’dan
sonra elektron her enerji değerini sürekli alabildiği serbest
durumdadır.

           
Hidrojenin ışıma spektrumunun kesikliliği artık kolayca ifade edilebilecektir.
Atom uyarılmış bir düzeyden daha düşük bir enerji durumuna geçerken aradaki
enerji farkına eşit enerjili bir foton yayar. Buna göre
n₂>n₁ olmak üzere n₂→n₁ geçişinde
yayınlanan fotonun dalgaboyu

 şeklinde ifade edilebilir. Böylece H atomunun
bütün serileri elde edilirken, deneysel olarak ölçülen R Rydberg sabitinin
de

           
Atomların kararlılığı için ise şu açıklama getirilmiştir. En düşük izinli enerji
düzeyi n=1 taban durumudur. Taban durumunda bulunan kararlı olarak kalır. Diğer
uyarılmış durumlar kararsız olup bu durumların birinde bulunan atom foton
salarak kararlı kaldığı taban durumuna geçiş yapar.

           
Hidrojen atomunda çembersel yörüngelerde dolanan elektron için kolayca
uygulanabilen Bohr kuantumlamakoşulu, eliptik yörüngelere ve diğer periyodik
hareketlere de uygulanabilecek şekilde Sommerfeld ve Wilson tarafından
genelleştirildi. Bunu ifade edebilmek için
(q_i,p_i),i=1,2,…N kanonik koordinatlarına sahip N
serbestlik dereceli bir sistemi gözönüne alalım. Her periyodik
(q_İ,p_i) kanonik çifti için yazılan, faz uzayındaki integrali eylem (yani açısal momentumun)boyutunda bir nicelik olup
burada integral q_i nin faz uzayındaki bir tam devri üzerindedir. Buna
göre Sommerfeld-Wilson kuantumlama koşulu şöyle yazılır:

            Bohr
modelinde elektronlar klasik noktasal parçacıklar olarak ele alınır. 1924’te de
Broglie, H atomunda çembersel yörüngenin çevresinin elektronun de Broglie dalga
boyunun tamsayı katına eşit olması koşulunun Bohr kuantumlama koşuluna denk bir
koşul olduğunu gösterdi. Gerçekten elektronun sürati v ve yörünge yarıçapı r ise
n.λ=2.π.r koşulu,
L=m_ev.r  koşuluna eşittir. Böylece elektronun çekirdeğin
etrafındaki hareketinin salt klasik noktasal parçacık hareketi olmadığı, bu
harekette de dalga karakteri olduğu anlaşıldı.

Elektronun dolandığı yörüngenin
çevresinin de Broglie dalga boyunun

tamsayı katı olması
L=n.h/2π Bohr kuantumlanma koşuluna
denktir